Aan wiskundige vaardigheden kan je de rest van je leven veel hebben. Tenminste, als ze tijdens de les worden ingezet als middel om analytisch en probleemoplossend te leren denken. Hoogleraar Paul Drijvers is dan ook groot voorstander van meer ‘wiskundig denken’ in het wiskundeonderwijs. Wat hij daaronder verstaat, leest u in dit artikel.
Dit artikel betreft een beknopte, geparafraseerde samenvatting van de rede van Paul Drijvers, uitgesproken bij de aanvaarding van het ambt van gewoon hoogleraar in de Didactiek van de Wiskunde aan de Faculteit Bètawetenschappen van de Universiteit Utrecht (mei 2015). De gehele oratie kunt u downloaden via de website van Universiteit Utrecht.
Volgens Drijvers moet er tijdens de wiskundeles meer worden nagedacht. Of in zijn eigen woorden: “Leerlingen moeten worden uitgedaagd om hun hersens te gebruiken en daarbij de kracht van de wiskunde inzetten. Het gaat erom dat leerlingen alert en fris naar problemen kunnen kijken en kritisch kunnen denken en redeneren.” Oftewel: dat ze wiskundig leren denken. Dit thema staat door de recente invoering van de nieuwe examenprogramma’s volop in de belangstelling. Al bestaat er van ‘wiskundig denken’ (nog) geen eenduidige definitie. Om die reden formuleert Drijvers tijdens zijn oratie een beknopte werkdefinitie:
‘Wiskundig denken is bedenken hoe je wiskundig gereedschap kunt gebruiken om een probleem aan te pakken.’
Het ‘gereedschap’ kan iets concreets zijn zoals de abc-formule, maar omvat ook theoretisch-methodisch gereedschap zoals logisch redeneren, bewijzen, inductie en deductie. Daarnaast is het ‘probleem’ een niet-standaard opgave (van binnen of buiten de wiskunde) waar de leerling geen kant-en-klare oplossing voor heeft. Kenmerkende wiskundige activiteiten hierbij zijn probleemoplossen, modelleren en abstraheren.
Probleemoplossen
“Door het werken aan geschikte problemen en door een goede manier van lesgeven kunnen leerlingen probleemoplossende vaardigheden ontwikkelen die de specifieke problemen die ze al hebben gezien overstijgen”, aldus Drijvers. Omdat voor het oplossen van een probleem doorgaans geen standaardprocedure bestaat, is het belangrijk om vaardigheden te leren waarmee je een probleem methodisch en systematisch kunt benaderen. In zijn rede noemt Drijvers enkele voorbeelden, waaronder: iets afleiden uit de gegevens, terugredeneren vanuit de gewenste uitkomst, een probleemaanpak bedenken, een getallenvoorbeeld doorrekenen en weten hoe je zaken die je al kent kunt inzetten in een nieuwe situatie.
Modelleren
Problemen uit de wereld om ons heen tackelen met wiskundige middelen, daar gaat het om bij modelleren. Door een probleem te formuleren in wiskundige termen kun je het bijvoorbeeld beter leren begrijpen, een ontwikkeling voorspellen of een proces optimaliseren. Volgens Drijvers is dat om de volgende redenen van belang: “Ten eerste ontleent wiskunde haar bestaansrecht aan de toepasbaarheid ervan, die je door middel van wiskundige modellen vormgeeft. Ten tweede draagt modelleren eraan bij dat leerlingen wiskunde als betekenisvol en voorstelbaar ervaren. Ten derde kunnen betekenisvolle wiskundige modellen een aanloop zijn naar abstractere wiskunde.”
Abstraheren
Abstraheren slaat op het uit probleemsituaties isoleren van specifieke overeenkomsten en verschillen, zodat deze als nieuwe, opzichzelfstaande entiteiten kunnen worden onderzocht. Bijvoorbeeld door te zoeken naar het gemeenschappelijke in verschillende situaties, of door te generaliseren over een bepaalde categorie voorbeelden. Zo leert de leerling – los van de specifieke context – redeneren met wiskundige begrippen. Dit draagt bij aan de ontwikkeling van wiskundig inzicht. Volgens Drijvers is dit een van de krachtige aspecten van wiskunde: “Je gaat op een hoger niveau redeneren over zaken en verbanden, op een manier die nog steeds iets voor je betekent. (…) Het resultaat van dit abstractieproces is dat je je beweegt op een hoger niveau van abstracte wiskundige objecten en hun relaties en dat je daarmee kunt redeneren.”
Bron: Drijvers, P. (2015). Denken over wiskunde, onderwijs en ICT. (Universiteit Utrecht)
